Question

5．已知二次函數(shù)f（x），若對于任意的x∈R，都有f（-$\frac{1}{2}$-x）=f（-$\frac{1}{2}$+x），且f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，f（0）=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（cosθ）=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）+msinθ有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和定點坐標，設(shè)f（x）=a（x+$\frac{1}{2}$）2-$\frac{9}{4}$，a≠0，代值計算即可，
（2）方程f（cosθ）=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）+msinθ有實根，等價于方程sin²θ+（m+1）sinθ+1=0有實根，設(shè)t=sinθ∈[-1，0）∪（0，1]，令g（t）=-t-$\frac{1}{t}$，t∈[-1，0）∪（0，1]，則m+1應(yīng)屬于g（t）的值域，解得即可．

解答 解：（1）∵對于任意的x∈R，都有f（-$\frac{1}{2}$-x）=f（-$\frac{1}{2}$+x），
∴二次函數(shù)的對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
∵且f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，
∴函數(shù)f（x）的頂點坐標為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
設(shè)f（x）=a（x+$\frac{1}{2}$）2-$\frac{9}{4}$，a≠0，
由f（0）=-2解得a=1，
∴f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，即f（x）=x²+x-2
（2）方程f（cosθ）=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）+msinθ有實根，
等價于方程sin²θ+（m+1）sinθ+1=0有實根．
∵sinθ=0時，無解，
∴sinθ≠0，等價于方程m+1=-sinθ-$\frac{1}{sinθ}$有實根，
設(shè)t=sinθ∈[-1，0）∪（0，1]，
令g（t）=-t-$\frac{1}{t}$，t∈[-1，0）∪（0，1]，
則m+1應(yīng)屬于g（t）的值域．
又g（t）∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
∴（m+1）∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
∴m∈（-∞，-3]∪[1，+∞）

點評 本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．