Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，其中a∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=1，證明：當(dāng)x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）時(shí)，x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）將a=1代入f（x）得到函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)$F（x）=f（x）-f（-x）={e^x}-x-（{e^{-x}}+x）={e^x}-\frac{1}{e^x}-2x，x＜0$，通過研究函數(shù)的單調(diào)性求出f（x₂）＜f（-x₁），從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ax的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f′（x）=e^x-a，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0在x∈（-∞，+∞）時(shí)成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=e^x-a=0，解得x=lna，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）變化情況如下表：

x	（-∞，lna）	lna	（lna，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0，f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，lna）上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-x的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f′（x）=e^x-1，
由f′（x）=e^x-1=0，解得x=0．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∵x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），則x₁＜0＜x₂（不妨設(shè)x₁＜x₂）．
設(shè)函數(shù)$F（x）=f（x）-f（-x）={e^x}-x-（{e^{-x}}+x）={e^x}-\frac{1}{e^x}-2x，x＜0$，
∴${F^'}（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}-2$，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，0＜e^x＜1，∴${e^x}+\frac{1}{e^x}＞2$，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
∴F（x）＜F（0）=0，即當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜f（-x），
∵x₁＜0，∴f（x₁）＜f（-x₁），
又f（x₁）=f（x₂），∴f（x₂）＜f（-x₁）．
∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
0＜x₂，且0＜-x₁，又f（x₂）＜f（-x₁），
∴x₂＜-x₁，
∴x₁+x₂＜0．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．