Question

2．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)，例如：

由于這些數(shù)能夠表示成三角形將其稱(chēng)為三角形數(shù)，記第n個(gè)三角形數(shù)為a_n（如a₄=10），令S=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$，則S=（　�。�

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{4032}{2017}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{4030}{2016}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知中第1個(gè)圖中黑點(diǎn)有1個(gè)，第2個(gè)圖中黑點(diǎn)有1+2個(gè)，第3個(gè)圖中黑點(diǎn)有1+2+3個(gè)，第4個(gè)圖中黑點(diǎn)有1+2+3+4個(gè)，…歸納可得第n個(gè)圖中黑點(diǎn)有1+2+3+…+n個(gè)，進(jìn)而利用裂項(xiàng)法求和得到答案．

解答 解：由已知中：
第1個(gè)圖中黑點(diǎn)有1個(gè)，
第2個(gè)圖中黑點(diǎn)有3=1+2個(gè)，
第3個(gè)圖中黑點(diǎn)有6=1+2+3個(gè)，
第4個(gè)圖中黑點(diǎn)有10=1+2+3+4個(gè)，
…
故第n個(gè)圖中黑點(diǎn)有a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$個(gè)，
∴S=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4032}{2017}$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．