Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式，如圖為該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，A為圖象的最高點(diǎn)，坐標(biāo)為A（

2

3

，2

3

）、B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且為正三角形．
（1）求該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式；
（2）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀+2）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用正弦型函數(shù)的函數(shù)圖象確定函數(shù)的解析式．
（2）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)關(guān)系變換直接求出函數(shù)的值．

解答： 解：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象A為圖象的最高點(diǎn)，坐標(biāo)為A（

2

3

，2

3

）、
則：A=2

3

由于B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且為正三角形．
根據(jù)A=2

3

，△ABC為正三角形
解得：BC=4，
則：函數(shù)圖象的周期T=

2π

ω

=8
解得：ω=

π

4

當(dāng)x=

2

3

時(shí)，f(

2

3

)=2

3

（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）
則：φ=

π

3

所以：f（x）=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)
（2）由（1）得：f（x）=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)
已知：x0∈(-

10

3

，

2

3

)
則：-

π

2

＜

πx0

4

+

π

3

＜

π

2

解得：sin(

π

4

x0+

π

3

)=

4

5

所以：cos(

π

4

x0+

π

3

)=

3

5

則：f(x0+2)=2

3

sin(

π

4

x0+

π

2

+

π

3

)=-2

3

cos(

π

4

x0+

π

3

)=-

6 3

5

所以函數(shù)值為：f（x₀+2）=-

6 3

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用正弦型函數(shù)的圖象確定函數(shù)的解析式，主要確定A，ω，φ的值，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行函數(shù)的求值．屬于基礎(chǔ)題型．