Question

在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₄=10，且a₃，a₆，a₁₀成等比數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）設(shè)b_n=2 an（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列{a_n}的公差為d，又a₄=10，把a₃，a₆，a₁₀用d表示，結(jié)合a₃，a₆，a₁₀成等比數(shù)列求得d，則等差數(shù)列的通項公式可求；
（2）把（1）中求得的a_n代入b_n=2 an（n∈N^*），然后利用等比數(shù)列的前n項和公式求得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，又a₄=10，
可得a₃=10-d，a₆=10+2d，a₁₀=10+6d，
由a₃，a₆，a₁₀成等比數(shù)列，得（10+2d）²=（10-d）（10+6d），解得d=0或d=1．
若d=0，則a₁=a_n=10，
若d=1，則a₁=a₄-3d=10-3×1=7，a_n=a₁+（n-1）d=n+6．
故a_n=10或a_n=n+6；
（2）由b_n=2 an（n∈N^*），
若a_n=10，則bn=210=1024，故S_n=1024n；
若a_n=n+6；則bn=2n+6，
∵

bn+1

bn

=

2n+7

2n+6

=2，∴數(shù)列{b_n}是首項為b1=27=128，公比為2的等比數(shù)列，
故Sn=

128(1-2n)

1-2

=2n+7-128．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．