Question

3．若等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²，則$\frac{2{S}_{n}+24}{{a}_{n}+1}$的最小值為（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 8
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 由S_n=n²，可得a₁=1，a₂=3．可得等差數(shù)列{a_n}的公差d=2．可得a_n．可得$\frac{2{S}_{n}+24}{{a}_{n}+1}$=n+$\frac{12}{n}$，令f（x）=x+$\frac{12}{x}$（x≥1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：由S_n=n²，可得a₁=1，1+a₂=2²，解得a₂=3．
∴等差數(shù)列{a_n}的公差d=3-1=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴$\frac{2{S}_{n}+24}{{a}_{n}+1}$=$\frac{2{n}^{2}+24}{2n-1+1}$=n+$\frac{12}{n}$，
令f（x）=x+$\frac{12}{x}$（x≥1），
f′（x）=1-$\frac{12}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-12}{{x}^{2}}$，
當(dāng)1≤x＜2$\sqrt{3}$時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x$＞2\sqrt{3}$時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴n=3或4時，n+$\frac{12}{n}$取得最小值7．
故選：D．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．