Question

【題目】設(shè)為給定的大于2的正整數(shù)，集合，已知數(shù)列：，，…，滿足條件：

①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，.

如果對于，有，則稱為數(shù)列的一個(gè)逆序?qū)?/span>.記數(shù)列的所有逆序?qū)Φ膫�(gè)數(shù)為.

（1）若，寫出所有可能的數(shù)列；

（2）若，求數(shù)列的個(gè)數(shù)；

（3）對于滿足條件的一切數(shù)列，求所有的算術(shù)平均值.

Answer 1

【答案】（1）不同的分別為：；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)可列出滿足條件的.

（2）就構(gòu)成逆序?qū)Φ脑�素的個(gè)數(shù)分類計(jì)數(shù)可得滿足條件的的個(gè)數(shù).

（3）引進(jìn)一個(gè)定義：，有，則稱為數(shù)列的一個(gè)順序?qū)�，可證明所有的中，逆序?qū)Φ目倲?shù)和順序?qū)Φ目倲?shù)相等，從而可得逆序?qū)Φ膫�(gè)數(shù)為，故可求其平均值.

（1）因?yàn)?/span>， 故只有一個(gè)逆序?qū)Γ?/span>

則不同的分別為：.

（2）因?yàn)?/span>，故數(shù)列：，，…，有兩種情況：

①2對逆序數(shù)由3個(gè)元素提供，即

，

這樣的共有個(gè).

②2對逆序數(shù)由4個(gè)元素提供，即

.

這樣的共有.

綜上，滿足的數(shù)列的個(gè)數(shù)為.

（3）對任意的：，，…，，其逆序?qū)Φ膫�(gè)數(shù)為，

我們引進(jìn)一個(gè)定義：，有，則稱為數(shù)列的一個(gè)順序?qū)Γ?/span>

則中的順序?qū)�個(gè)數(shù)為.

考慮：，，…，與：，，…，，

中的逆序?qū)Φ膫�(gè)數(shù)為中順序?qū)Φ膫�(gè)數(shù)，中順序?qū)Φ膫�(gè)數(shù)為中逆序?qū)�個(gè)數(shù)，

把所有的按如上形式兩兩分類，則可得所有的中，逆序?qū)Φ目倲?shù)和順序?qū)Φ目倲?shù)相等，而它們的和為，故逆序?qū)Φ膫�(gè)數(shù)為，

所以所有的算術(shù)平均值為.