Question

1．已知集合A={x|0≤x≤1}，f（x）=x²-2ax+3a-2，（a∈R）．
（1）設(shè)f（x）＜0的解集為B，當A∩B=A時．求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x∈A時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用A∩B=A，可得A⊆B．進而有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，解不等式，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x∈A時，分類討論，利用配方法求函數(shù)f（x）的最小值．

解答 解：（1）∵A∩B=A，∴A⊆B．
∵A={x|0≤x≤1}，f（x）=x²-2ax+3a-2，f（x）＜0的解集為B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-2＜0}\\{a-1＜0}\end{array}\right.$，∴a＜$\frac{2}{3}$；
（2）f（x）=x²-2ax+3a-2=（x-a）²-a²+3a-2，對稱軸方程x=a．
a＜0時，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，x=0，f（x）_min=3a-2；
0≤a≤1時，函數(shù)在[0，a]上單調(diào)遞減，函數(shù)在[a，1]上單調(diào)遞增，x=a，f（x）_min=-a²+3a-2；
a＞1時，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，x=1，f（x）_min=a-1．

點評 本題考查集合的關(guān)系，考查二次函數(shù)的最小值，考查函數(shù)思想的運用，屬于中檔題．