Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+b，若x∈[-2，2]時(shí)，恒有|f（x）|≤1，則ab的最大值是$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由對(duì)于任意x∈[-2，2]，都有|f（x）|≤1成立，可得（a，b）對(duì)應(yīng)的可行域，進(jìn)而根據(jù)基本不等式得到ab的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+b圖象的頂點(diǎn)為（0，b），
若對(duì)于任意x∈[-2，2]，都有|f（x）|≤1成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2a+b≤1}\\{-1≤b≤1}\end{array}\right.$，
其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如右圖所示：
令Z=ab，則在第一，三象限a，b同號(hào)時(shí)ab取最大值，
由2a+b=1，a＞0，b＞0得：ab=$\frac{2ab}{2}$≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{2a+b}{2}$）²=$\frac{1}{8}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最大值$\frac{1}{8}$．
故答案為：$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是恒成立問(wèn)題，線性規(guī)劃，基本不等式，是不等式和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．