Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n=n²+bn，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比q＞0，且滿足a₁=b₁=2，b₂，a₃，b₃成等差數(shù)列；
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=b_n+$\frac{1}{A_n}$，求c_n的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）令n=1得出b，于是a_n=A_n-A_n-1，根據(jù)b₂，a₃，b₃成等差數(shù)列求出q，從而得出b_n；
（2）使用分項(xiàng)求和與列項(xiàng)求和計(jì)算c_n的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵A_n=n²+bn，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1+b=2，∴b=1．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=A_n-A_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n．
顯然當(dāng)n=1時(shí)，上式仍成立．
∴a_n=2n．
∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為q，b₁=2．
∴b₂=2q，b₃=2q²．又a₃=6，b₂，a₃，b₃成等差數(shù)列，
∴2q+2q²=12．解得q=2或q=-3（舍）．
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）c_n=2ⁿ+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=2ⁿ+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
設(shè){c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+（1-$\frac{1}{n+1}$）
=2ⁿ⁺¹-$\frac{1}{n+1}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．