Question

15．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由6S_n=（a_n+1）（a_n+2）得到6S_n+1=（a_n+1+1）（a_n+1+2），兩式作差，即可證明{a_n}為等差數(shù)列，從而求出a_n．
（2）由a_n=3n-1，推導(dǎo)出b_n=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+2}$-$\sqrt{3n-1}$），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n．

解答 解：（1）∵6S_n=（a_n+1）（a_n+2），
∴6S_n+1=（a_n+1+1）（a_n+1+2），
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}為等差數(shù)列
∵6S₁=（a₁+1）（a₁+2），
∵a₁＞1，
∴a₁=2，
∴a_n=3n-1，
（2）b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{3n-1}+\sqrt{3n+2}}$=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+2}$-$\sqrt{3n-1}$），
∴{b_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{3}$$\sum_{i=1}^{n}$（$\sqrt{3i+2}$-$\sqrt{3i-1}$）=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+2}$-$\sqrt{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意迭代法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．