Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx的導(dǎo)函數(shù)為h（x），f（x）的圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為3x-y+4=0，且h′（-$\frac{2}{3}$）=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若直線y=x是函數(shù)g（x）=$\frac{2k{e}^{x}}{{x}^{2}+2x+2}$f（x）的圖象的一條切線，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及切線方程，建立方程關(guān)系，即可求出a，b，c的取值，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用直線y=x是函數(shù)g（x）=$\frac{2k{e}^{x}}{{x}^{2}+2x+2}$f（x）的圖象的一條切線，可得函數(shù)在原點(diǎn)處的切線斜率為1，求導(dǎo)，即可求k的值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴h（x）=f′（x）=3ax²+2bx+c，h′（x）=6ax+2b，
∵h(yuǎn)′（-$\frac{2}{3}$）=0，∴6a×（-$\frac{2}{3}$）+2b=0，即b=2a，①
∵f（x）的圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為3x-y+4=0，
∴當(dāng)x=-2時，f（-2）=-2，且切線斜率f′（-2）=3，
則f（-2）=-8a+4b-2c=-2，②，
f′（-2）=12a-4b+c=3，③，
聯(lián)立解得a=$\frac{1}{2}$，b=1，c=1，即f（x）=$\frac{1}{2}$x³+x²+x；
（2）g（x）=$\frac{2k{e}^{x}}{{x}^{2}+2x+2}$f（x）=kxe^x，
∵直線y=x是函數(shù)g（x）=$\frac{2k{e}^{x}}{{x}^{2}+2x+2}$f（x）的圖象的一條切線．
∴函數(shù)在原點(diǎn)處的切線斜率為1，
∵g′（x）=k（e^x+xe^x），∴g′（0）=k=1．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．