Question

11．已知O為△ABC的外心，且$|{\overrightarrow{AB}}|=7，|{\overrightarrow{AC}}|=5$，則$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值為-12．

Answer 1

分析 過O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．利用垂經(jīng)定理及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²．再利用向量的三角形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，
過O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²=$\frac{1}{2}$×（5²-7²）=-12．
故答案為：-12．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的外心性質(zhì)、垂徑定理、向量的三角形法則及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．