Question

15．已知f（x）=（x²-2ax）e^bx，x為自變量．
（1）函數(shù)f（x）分別在x=-1和x=1處取得極小值和極大值，求a，b．
（2）若a≥0且b=1，f（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）分別在x=-1和x=1處取得極小值和極大值，-1，1是bx²+2（1-ab）x-2a=0的兩個(gè)根，即可得出結(jié)論；
（2）先由f′（x）＞0，再根據(jù)函數(shù)f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立問(wèn)題，列出關(guān)于a的不等關(guān)系解之即得．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-2ax）e^bx，
∴f'（x）=e^bx[bx²+2（1-ab）x-2a]，
∵函數(shù)f（x）分別在x=-1和x=1處取得極小值和極大值，
∴-1，1是bx²+2（1-ab）x-2a=0的兩個(gè)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+1=-\frac{2-2ab}}\\{（-1）•1=-\frac{2a}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
經(jīng)檢驗(yàn)，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
（2）f'（x）=e^x[x²+2（1-a）x-2a]
①若f（x）在[-1，1]遞減，則f'（x）≤0在[-1，1]恒成立，
∴只需x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立，
即2a（x+1）≥x²+2x在[-1，1]恒成立，
x=-1時(shí)2a（x+1）≥x²+2x在[-1，1]恒成立；
x∈（-1，1]時(shí)，需滿足a≥$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$，令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$，
則g′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{2（x+1）^{2}}$＞0在x∈（-1，1]恒成立，
∴g（x）在（-1，1]遞增，∴g（x）_max=g（1）=$\frac{3}{4}$，∴a≥$\frac{3}{4}$；
②若f（x）在[-1，1]遞增，則f'（x）≥0在[-1，1]恒成立，
但f'（-1）=-1，∴f（x）在[-1，1]不遞增；
綜上a≥$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．