Question

14．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，拋物線C₂：y=x²+2，點(diǎn)P是C₂上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C₂的切線，交橢圓C₁于A，B兩點(diǎn)，
（1）當(dāng)?shù)男甭适?時(shí)，求|AB|
（2）設(shè)拋物線C₂的切線方程為y=kx+b，當(dāng)∠AOB是銳角時(shí)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立借助韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)|AB|的值．
（2）∠AOB為銳角，針對(duì)本題它等價(jià)于$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，確定b=2-$\frac{{k}^{2}}{4}$，y=kx+b代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，整理可得（2+k²）x²+4kbx+2b²-2=0，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)l的斜率為2，可知y′=2x=2，∴x=1，
所以P（1，3），所以直線l的方程為y-3=2（x-1），即2x-y+1=0．
與橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1聯(lián)立，可得9x²+8x=0，
∴x=0或-$\frac{8}{9}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}•\frac{8}{9}$=$\frac{8\sqrt{5}}{9}$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切點(diǎn)（x₀，y₀），
∠AOB為銳角，針對(duì)本題它等價(jià)于$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，
即x₁x₂+y₁y₂＞0，x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）＞0，
再根據(jù)k=2x₀，∴x₀=$\frac{k}{2}$，y₀=$\frac{{k}^{2}}{4}$+2，
∴$\frac{{k}^{2}}{4}$+2=k•$\frac{k}{2}$+b，
∴b=2-$\frac{{k}^{2}}{4}$，①
y=kx+b代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，整理可得（2+k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4kb}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2^{2}-2}{2+{k}^{2}}$，△＞0②
∴y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=$\frac{2^{2}-2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
∴$\frac{2^{2}-2}{2+{k}^{2}}$+$\frac{2^{2}-2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$＞0③，
由①②③解得b∈（-4-$\sqrt{33}$，$\frac{-4-\sqrt{70}}{3}$）∪（$\frac{-4+\sqrt{70}}{3}$，-4+$\sqrt{33}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．