Question

8．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{3}$，AA₁=1，∠BAC=90°，D為線段BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線B₁D與AC所成角的大�。�
（2）求二面角D-A₁B₁-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線B₁D與AC所成角的大小．
（2）求出平面A₁B₁D的法向量和平面A₁B₁A的法向量，利用向量法能求出二面角D-A₁B₁-A的大�。�

解答 解：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2$\sqrt{2}$，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），B₁（2$\sqrt{2}$，0，1），D（$\sqrt{2}，\sqrt{3}，0$），
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{AC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），
設(shè)異面直線B₁D與AC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}D}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}D}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{6}{\sqrt{6}•2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{4}$．
∴異面直線B₁D與AC所成角的大小為$\frac{π}{4}$．
（2）$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$=（2$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{3}，-1$），
設(shè)平面A₁B₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=2\sqrt{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=-\sqrt{2}x+\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，3），
又平面A₁B₁A的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角D-A₁B₁-A的平面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}$=$\frac{1}{2}$，∴α=$\frac{π}{3}$，
∴二面角D-A₁B₁-A的大小為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．