Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a為參數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；
（3）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，f（1）=0，

求導(dǎo)f′（x）= ，f′（1）=1，

f（x）在x=1處的切線斜率k=1，則y﹣0=1×（x﹣1），整理得：y=x﹣1，；

∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程y=x﹣1

（2）解：f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），定義域?yàn)椋?，+∞） ，設(shè)g（x）=2ax2﹣3ax+1，

①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=1，故f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以無極值點(diǎn)

②當(dāng)a＞0時(shí)，△=9a2﹣8a，

若0＜a≤ 時(shí)△≤0，g（x）≥0，故f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上遞增，所以無極值點(diǎn)．

若a＞ 時(shí)△＞0，設(shè)g（x）=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，

且 ，而g（0）=1＞0，則 ，

所以當(dāng)x∈（0，x1），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（x1，x2），g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x2，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

所以此時(shí)函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)；

③當(dāng)a＜0時(shí)△＞0，設(shè)g（x）=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，

但g（0）=1＞0，所以x1＜0＜x2，

所以當(dāng)x∈（0，x2），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞増；

當(dāng)x∈（x2，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．

所以此時(shí)函數(shù)f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)．

綜上得：

當(dāng)a＜0時(shí)f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)0≤a≤ 時(shí)f（x）的無極值點(diǎn)；

當(dāng)a＞ 時(shí)，f（x）的有兩個(gè)極值點(diǎn)

（3）解：方法一：當(dāng)0≤a≤ 時(shí)，由（2）知f（x）在[1，+∞）上遞增，

所以f（x）≥f（1）=0，符合題意；

當(dāng) ＜a≤1時(shí)，g（1）=1﹣a≥0，x2≤1，f（x）在[1，+∞）上遞增，所以f（x）≥f（1）=0，符合題意；

當(dāng)a＞1時(shí)，g（1）=1﹣a＜0，x2＞1，所以函數(shù)f（x）在（1，x2）上遞減，所以f（x）＜f（1）=0，不符合題意；

當(dāng)a＜0時(shí)，由（1）知lnx≤x﹣1，于是f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2）≤x﹣1+a（x2﹣3x+2）

當(dāng) 時(shí)，x﹣1+a（x2﹣3x+2）＜0，此時(shí)f（x）＜0，不符合題意．

綜上所述，a的取值范圍是0≤a≤1．

方法二：g（x）=2ax2﹣3ax+1，注意到對(duì)稱軸為 ，g（1）=1﹣a，

當(dāng)0≤a≤1時(shí)，可得g（x）≥0，故f（x）在[1，+∞）上遞增，所以f（x）≥f（1）=0，符合題意；

當(dāng)a＞1時(shí)，g（1）=1﹣a＜0，x2＞1，所以函數(shù)f（x）在（1，x2）上遞減，此時(shí)f（x）＜f（1）=0，不符合題意；

當(dāng)a＜0時(shí)，由（1）知lnx≤x﹣1，于是f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2）≤x﹣1+a（x2﹣3x+2）

當(dāng) 時(shí)，x﹣1+a（x2﹣3x+2）＜0，此時(shí)f（x）＜0，不符合題意．

綜上所述，s的取值范圍是0≤a≤1

【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程，即可求得函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；（2）求導(dǎo)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系，分別求得函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）方法一：由（2）可知：分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的最值，即可求得a的取值范圍； 方法二：設(shè)g（x）=2ax2﹣3ax+1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．