Question

7．如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD=$\frac{1}{3}$DB，點C為圓O上一點，且BC=$\sqrt{3}$AC．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=BD．
（Ⅰ）求證：CD⊥PA；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用平面幾何知識與線面垂直的性質證線線垂直，由線線垂直⇒線面垂直，再由線面垂直推導出線線垂直．
（Ⅱ）通過作出二面角的平面角，證明符合定義，再在三角形中求解．

解答 證明：（Ⅰ）連接OC，由AD=$\frac{1}{3}$BD知，點D為AO的中點，
又∵AB為圓的直徑，∴AC⊥BC，
∵BC=$\sqrt{3}$AC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO為等邊三角形，∴CD⊥AO．
∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，
∴PD⊥平面ABC，又CD？平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，PA？平面PAB，
∴CD⊥PA．
解：（Ⅱ）過點D作DE⊥PB，垂足為E，連接CE，
由（Ⅰ）知CD⊥平面PAB，又PB？平面PAB，
∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，
∴PB⊥平面CDE，又CE？平面CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC為二面角C-PB-A的平面角．
由（Ⅰ）可知CD=$\sqrt{3}$，PD=BD=3，
∴PB=3$\sqrt{2}$，則DE=$\frac{PD×BD}{PB}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴在Rt△CDE中，tan∠DEC=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos∠DEC=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，即二面角C-PB-A的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查線線垂直的判定、二面角的平面角及求法．二面角的求法：法1、作角（根據(jù)定義作二面角的平面角）--證角（符合定義）--求角（解三角形）．