Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P（x₀，$\frac{5}{2}$）為雙曲線上一點(diǎn)，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為1且圓心G到原點(diǎn)O的距離為$\sqrt{5}$，則雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

Answer 1

分析 由題意，△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為a，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為1且圓心G到原點(diǎn)O的距離為$\sqrt{5}$，求出a，利用雙曲線的定義及面積公式，求出b，即可得出雙曲線的方程．

解答 解：由題意，△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為a，
若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為1且圓心G到原點(diǎn)O的距離為$\sqrt{5}$，
則a²+1=5，∴a=2，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n（m＞n），則$\left\{\begin{array}{l}{m-n=4}\\{\frac{1}{2}×2c×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}（m+n+2c）}\end{array}\right.$，∴n=$\frac{3}{2}$c-2，
∵點(diǎn)P（x₀，$\frac{5}{2}$）為雙曲線上一點(diǎn)，
∴$\frac{n}{{x}_{0}-\frac{4}{c}}$=$\frac{c}{2}$，∴n=$\frac{c}{2}{x}_{0}$-2，∴$\frac{c}{2}{x}_{0}$-2=$\frac{3}{2}$c-2，∴x₀=3，
∴$\frac{9}{4}-\frac{\frac{25}{4}}{^{2}}$=1，∴b=$\sqrt{5}$，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故答案為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)切圓，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．