Question

7．已知從某批產(chǎn)品中隨機抽取1件是二等品的概率為0.2．
（1）若從該產(chǎn)品中有放回地抽取產(chǎn)品2次，每次抽取1件，設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”，求P（A）；
（2）若該批產(chǎn)品共有20件，從中任意抽取2件，X表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）記A₀表示事件“取出的2件產(chǎn)品中沒有二等品”，A₁表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”，則A₁與A₀互斥，且A=A₀+A₁，由此能求出事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率．
（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）記A₀表示事件“取出的2件產(chǎn)品中沒有二等品”，
A₁表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”，
則A₁與A₀互斥，且A=A₀+A₁，
∴P（A）=P（A₀）+P（A₁）=（1-0.2）²+C${\;}_{2}^{1}$×0.2×（1-0.2）=0.96．
（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，
該產(chǎn)品共有二等品20×0.2=4（件），
P（X=0）=$\frac{{C}_{16}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{12}{19}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{16}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{32}{90}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{93}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{12}{19}$	$\frac{32}{95}$	$\frac{3}{95}$

E（X）+$0×\frac{12}{19}+1×\frac{32}{95}+2×\frac{3}{95}$=$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式和排列組合知識的合理運用．