Question

某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．

一次購物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顧客數(shù)（人）	x	30	25	y	10
結(jié)算時間（分鐘/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%．
（Ⅰ）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．
（注：將頻率視為概率）

Answer 1

（Ⅰ）x＝15，y＝20．

X	1	1.5	2	2.5	3
P

E(X)＝1.9；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)總?cè)藬?shù)有100人，則，由100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%，則知．根據(jù)這兩式得x＝15，y＝20，由表格可得X的可以取值為：1,1.5,2,2.5,3；該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率，即可得到分布列與期望.
（Ⅱ）由于該客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，則該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的情況為（1、1），（1、1.5），（1.5、1）三種情況，則按照各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，有
P(A)＝P(X₁＝1)×P(X₂＝1)＋P(X₁＝1)×P(X₂＝1.5)＋P(X₁＝1.5)×P(X₂＝1)
＝×＋×＋×＝．
試題解析：（Ⅰ）由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．
該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得
P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝．
X的分布列為

X	1	1.5	2	2.5	3
P

X的數(shù)學(xué)期望為
E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9．
（Ⅱ）記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”，X_i（i＝1，2）為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間，則
P(A)＝P(X₁＝1且X₂＝1)＋P(X₁＝1且X₂＝1.5)＋P(X₁＝1.5且X₂＝1)．
由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X₁，X₂的分布列都與X的分布列相同，所以
P(A)＝P(X₁＝1)×P(X₂＝1)＋P(X₁＝1)×P(X₂＝1.5)＋P(X₁＝1.5)×P(X₂＝1)
＝×＋×＋×＝．
故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為．
考點(diǎn)：1.離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望;2.以及相互獨(dú)立事件的概率的求法.