已知0<α<
π
2
,tan
α
2
+
1
tan
α
2
=
5
2
,試求sin(α-
π
3
)
的值.
考點(diǎn):兩角和與差的正弦函數(shù),同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
專題:三角函數(shù)的求值
分析:依題意,利用半角公式可化簡(jiǎn)得tan
α
2
+
1
tan
α
2
=
2
sinα
=
5
2
,于是得到sinα=
4
5
,又0<α<
π
2
,可求得cosα=
1-sin2α
=
3
5
,再利用兩角差的正弦即可求得sin(α-
π
3
)
的值.
解答: 解:∵tan
α
2
+
1
tan
α
2
=
1-cosα
sinα
+
1+cosα
sinα
=
2
sinα
=
5
2
,
∴sinα=
4
5
,
又0<α<
π
2
,
∴cosα=
1-sin2α
=
3
5
,
sin(α-
π
3
)
=sinαcos
π
3
-cosαsin
π
3
=
4
5
×
1
2
-
3
5
×
3
2
=
4-3
3
10
點(diǎn)評(píng):本題考查正切的半角公式的應(yīng)用,考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角差的正弦,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)圖象的相鄰的對(duì)稱中心之間距離為
π
2
,且圖象關(guān)于(
π
8
,0)對(duì)稱.
(1)求ω、φ的值;
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)求f(x)在[0,
π
2
]上的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

用數(shù)學(xué)歸納法證明,對(duì)任意x>0及正整數(shù)n,有xn+xn-2+…+
1
xn-2
+
1
xn
≥n+1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

關(guān)于函數(shù)f(x)=sin(x-
π
12
)sin(x+
12
),有下列命題:
①此函數(shù)可以化為f(x)=-
1
2
sin(2x+
6
);
②函數(shù)f(x)的最小正周期是π,其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(
π
12
,0);
③函數(shù)f(x)的最小值為-
1
2
,其圖象的一條對(duì)稱軸是x=
π
3

④函數(shù)f(x)的圖象向右平移
π
6
個(gè)單位后得到的函數(shù)是偶函數(shù);
⑤函數(shù)f(x)在區(qū)間(-
π
3
,0)上是減函數(shù).
其中所有正確的命題的序號(hào)個(gè)數(shù)是(  )
A、2B、3C、4D、5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知點(diǎn)P(1,0,5),Q(1,3,4),則線段PQ的長(zhǎng)度為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)P(sinα+cosα,tanα)在第四象限,則角α的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某程序框圖如圖所示,該程序運(yùn)行后輸出的x值是( 。
A、3B、4C、6D、8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)f(x)=
x2+1,x≥0
-x2x<0
的單調(diào)遞增區(qū)間為( 。
A、(-∞,0),[0,+∞)
B、(-∞,0)
C、[0,+∞)
D、(-∞,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
)的圖象關(guān)于直線x=
3
對(duì)稱,它的周期是π,則( 。
A、f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,
1
2
),
B、f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是(
12
,0)
C、f(x)在[
π
12
3
]上是減函數(shù)
D、將f(x)的圖象向右平移|φ|個(gè)單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象

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