Question

12．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l的傾斜角為60°，$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）如果|AB|=$\frac{15}{2}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)斜式設(shè)出直線(xiàn)l的方程，代入橢圓，得到A、B的縱坐標(biāo)，再由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，求出離心率；
（2）利用弦長(zhǎng)公式和離心率的值，求出橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的值，從而寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＞0，y₂＜0．
直線(xiàn)l的方程為y=$\sqrt{3}$（x-c），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-c）}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，得 （3a²+b²）y²+2$\sqrt{3}$b²cy-3b⁴=0．
解得y₁=-$\frac{\sqrt{3}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$，y₂=-$\frac{\sqrt{3}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$，
因?yàn)?\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，所以-y₁=2y₂．
即-$\frac{\sqrt{3}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$=2•$\frac{\sqrt{3}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$，
解得離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$；
另解：運(yùn)用橢圓的第二定義，
設(shè)FB=m，AF=2m，
由三角形的相似性質(zhì)，
可得$\frac{\frac{m}{2}}{\frac{m}{e}}$=$\frac{1}{3}$，
解得e=$\frac{2}{3}$；
（2）因?yàn)閨AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•|y₂-y₁|，
∴$\frac{15}{2}$=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\frac{4\sqrt{3}^{2}a}{3{a}^{2}+^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$得b=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，所以$\frac{5}{4}$a=$\frac{15}{2}$，
解得a=6，b=2$\sqrt{5}$．
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，準(zhǔn)確進(jìn)行式子的變形和求值，是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．