Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，側面為正三角形，側面底面，、分別為棱、的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】分析：（Ⅰ）取的中點，連接、，可得，，從而得平面平面，因為平面，所以平面；（Ⅱ）由等腰三角形的性質，，因為，所以，由線面垂直的判定定理可得平面.

由面面垂直的判定定理可得結論；（Ⅲ）設與的交點為，過點作平面.如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，，所以，由，從而可得結果.

詳解：(Ⅰ）法1：取的中點，連接、.則

，.

又因為、平面，，

、平面，，

所以，平面平面，

因為平面，

所以平面.

法2：取的中點，連接、，

因為，，

所以，

所以四邊形為平行四邊形，

所以.

又因為平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）法1：

因為，為棱的中點，

所以，

因為，為棱的中點，

所以，

由（Ⅰ）法2知，，

所以，

又因為，、平面，

所以平面.

又因為平面，

所以，平面平面.

法2：

設與的交點為，過點作平面.如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則

，，，，

，，，

設平面的法向量為，則，

所以，

令，則，，所以；

設平面的法向量為，則，

所以，

令，則，，所以；

因為，

所以平面平面.

法3：

由法1知，

由法2知，所以，

，

所以，

又平面，，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（Ⅲ）在棱上存在一點，使得平面，.

理由如下：

假設存在這樣的點，設，，

所以

.

由，

解得.

當時，，又，，

所以平面.

所以在棱上存在一點，使得平面，.