Question

5．設(shè)a₁，a₂，…，a_n∈R，n≥3．若p：a₁，a₂，…，a_n成等比數(shù)列；q：（a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n-1}^{2}$）（a${\;}_{2}^{2}$+a${\;}_{3}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$）=（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，則p是q的充分不必要條件．

Answer 1

分析 運(yùn)用柯西不等式，可得：（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）≥（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，討論等號(hào)成立的條件，結(jié)合等比數(shù)列的定義和充分必要條件的定義，即可得到．

解答 解：由a₁，a₂，…，a_n∈R，n≥3．由柯西不等式，可得：
（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）≥（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，
若a₁，a₂，…，a_n成等比數(shù)列，即有$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=…=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，
則（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）=（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，
即由p推得q，
但由q推不到p，比如a₁=a₂=a₃=…=a_n=0，則a₁，a₂，…，a_n不成等比數(shù)列．
故p是q的充分不必要條件．
故答案為：充分不必要．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了柯西不等式的應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．