Question

17．對于任意的兩個正數(shù)m，n，定義運算⊙：當m、n都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，m⊙n=$\frac{m+n}{2}$；當m、n為一奇一偶時，m⊙n=$\sqrt{mn}$，設集合A={（a，b）|a⊙b=4，a，b∈N*}，則集合A的子集個數(shù)為2¹⁰-1．．

Answer 1

分析 由⊙的定義，a⊙b=6分兩類進行考慮：a和b一奇一偶，則ab=16；a和b同奇偶，則a+b=8．由a、b∈N^*列出滿足條件的所有可能情況，再考慮點（a，b）的個數(shù)即可．

解答 解：a⊙b=6，a、b∈N^*，
若a和b一奇一偶，則a⊙b=$\sqrt{ab}$=4，即ab=16，
滿足此條件的1×16=2×8=4×4，
故點（a，b）有3個；
若a和b同奇偶，則a⊙b=$\frac{1}{2}$（a+b）=4，即a+b=8，
滿足此條件的有1+7=2+6=3+5=4+4=5+3=6+2=7+1共6組，故點（a，b）有2×4-1=7個，
所以滿足條件的個數(shù)3+7=10個，
故集合A的真子集的個數(shù)是2¹⁰-1個，
故答案為：2¹⁰-1．

點評 本題為新定義問題，考查對新定義和集合的理解，正確理解新定義的含義是解決本題的關鍵．