Question

若函數f（x）=

2

cosxsin（x+

π

4

）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）寫出函數f（x）在[0，π]上的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）先化簡f（x）=

2

cosxsin（x+

π

4

）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，由正弦函數的性質即可求函數f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，可解得函數單調遞增區(qū)間，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，可解得函數單調遞減區(qū)間，從而可求函數f（x）在[0，π]上的單調區(qū)間．

解答： 解：f（x）=

2

cosxsin（x+

π

4

）=cosx（sinx+cosx）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

．
（Ⅰ）由正弦函數的性質：f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；最大值為

2 +1

2

．
（Ⅱ）∵由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，可解得函數單調遞增區(qū)間為：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，可解得函數單調遞減區(qū)間為：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，
∴函數f（x）在[0，π]上的單調區(qū)間：函數f（x）在[0，

π

8

]和[

5π

8

，π]上單調遞增，在[

π

8

，

5π

8

]上單調遞減．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．