Question

12．已知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同的零點，則m的取值范圍是（-2，-1]．

Answer 1

分析 令t=2x-$\frac{π}{6}$，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，由題意可得g（t）=2sint+m在t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上有兩個不同的零點，故y=2sint 和y=-m在t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上有兩個不同的交點，從而求得m的取值范圍．

解答 解：令t=2x-$\frac{π}{6}$，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
故t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
由題意可得g（t）=2sint+m
在t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上有兩個不同的零點，
故y=2sint 和y=-m在t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上有兩個不同的交點，
如圖所示：
故1≤-m＜2，即-2＜m≤-1．
故答案為：（-2，-1]．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象，函數(shù)的零點的判定方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，畫出圖形是解題的關鍵．