Question

17．若直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1或$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• D． 以上答案都不對

Answer 1

分析 利用橢圓的簡單性質(zhì)求解，題中沒有明確焦點(diǎn)在x軸還是在y軸上，所以分情況討論．

解答 解：設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-c，0），（c，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），（0，-b）；
橢圓的a，b，c關(guān)系：；a²-b²=c²
∵直線x-2y+2=0恒過定點(diǎn)（0，1）
∴直線x-2y+2=0必經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)（-c，0），和頂點(diǎn)（0，b）
帶入直線方程：$\left\{\begin{array}{l}{-c+2=0}\\{0-2b+2=0}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$
解得：c=2，b=1，a=$\sqrt{5}$
∴焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
當(dāng)設(shè)焦點(diǎn)在y軸，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-c），（0，c），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b，0），（b，0）；
橢圓的a，b，c關(guān)系：a²-b²=c²
∵直線x-2y+2=0恒過定點(diǎn)（0，1）
∴直線x-2y+2=0必經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)（0，c），和頂點(diǎn)（-b，0）
帶入直線方程$\left\{\begin{array}{l}{0-2c+2=0}\\{-b+2=0}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$
解得：c=1，b=2，a=$\sqrt{5}$
∴焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，題中沒有明確焦點(diǎn)在x軸還是在y軸上，要分情況討論，解題時要注意橢圓的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．