如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E在線段BD上,點(diǎn)F在線段B1C上.
(Ⅰ)若E、F分別為線段BD,B1C的中點(diǎn),求直線EF與直線C1D1所成的角;
(Ⅱ)若EF⊥BD,EF⊥B1C,求線段EF的長(zhǎng)度.
分析:(I)以{
DA
DC
,
DD1
}
為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出向量
C1D1
EF
,代入向量夾角公式,即可得直線EF與直線C1D1所成的角;
(Ⅱ)先設(shè)E(m,m,0),F(xiàn)(n,2,n),則
EF
=(n-m,2-m,n)
,利用向量垂直的條件求出m,n的值,從而得出向量
EF
的坐標(biāo),最后利用向量模的公式求出線段EF的長(zhǎng)度.
解答:解:(Ⅰ)以{
DA
,
DC
DD1
}
為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
則C1(0,2,2)D1(0,0,2),E(1,1,0),F(xiàn)(1,2,1),
所以
C1D1
=(0,-2,0)
EF
=(0,1,1)
,…(4分)
cos<
C1D1
EF
>=
C1D1
EF
|
C1D1
||
EF
|
=
-2
2
2
=-
2
2
…(6分)
又因?yàn)橹本EF與直線C1D1所成的角范圍為(0,
π
2
]

所以直線EF與直線C1D1所成角為
π
4
…(8分)
(Ⅱ)設(shè)E(m,m,0),F(xiàn)(n,2,n),
EF
=(n-m,2-m,n)
,
因?yàn)镈(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0)
所以
DB
=(2,2,0)
,
CB1
=(2,0,2)
…(10分)
由題意得,
EF
DB
=0
EF
CB1
=0
,
2(n-m)+2(2-m)=0
2(n-m)+2n=0
,解得
m=
4
3
n=
2
3
…(12分)
所以E(
4
3
,
4
3
,0)
,F(
2
3
,2,
2
3
)
,所以
EF
=(-
2
3
,
2
3
,
2
3
)
,…(14分)|
EF
|=
(-
2
3
)
2
+(
2
3
)
2
+(
2
3
)
2
=
2
3
3

即線段EF的長(zhǎng)度為
2
3
3
…(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查異面直線及其所成的角以及點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,正確求出向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,問(wèn)球O的表面積.
(1) 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切,則有S=
 

(2)如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切,則有S=
 

精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn).證明:向量
A1B
B1C
、
EF
是共面向量.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為8,E、F分別為AD1,CD1中點(diǎn),G、H分別為棱DA,DC上動(dòng)點(diǎn),且EH⊥FG.
(1)求GH長(zhǎng)的取值范圍;
(2)當(dāng)GH取得最小值時(shí),求證:EH與FG共面;并求出此時(shí)EH與FG的交點(diǎn)P到直線B1B的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E、F、G分別為棱BC、C1C、B1C1的中點(diǎn),O1、O2分別為四邊形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,則下列各組中的四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面上的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是所在棱的三等分點(diǎn),且BF=DE=C1G=C1H=
13
AB

(1)證明:直線EH與FG共面;
(2)若正方體的棱長(zhǎng)為3,求幾何體GHC1-EFC的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案