Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P處的切線斜率為2．
（1）求a，b的值；
（2）證明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x+ax²+blnx，知f′（x）=1+2ax+$\frac{x}$，由y=f（x）過P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線斜率為2，知$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f′（1）=1+2a+b=2}\end{array}\right.$，由此能求出a，b．
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由（I）知f（x）=x-x²+3lnx，設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，則g′（x）=-$\frac{（x-1）（2x-3）}{x}$，由此能證明f（x）≤2x-2．

解答 解：（1）∵f（x）=x+ax²+blnx，
∴f′（x）=1+2ax+$\frac{x}$，
∵y=f（x）過P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線斜率為2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f′（1）=1+2a+b=2}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=3．
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由（1）知f（x）=x-x²+3lnx，
設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，
則g′（x）=-$\frac{（x-1）（2x-3）}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）′＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）單調(diào)增加，在（1，+∞）單調(diào)減少．
∴g（x）_max=g（1）=0．
∴g（x）=f（x）-（2x-2）≤0，
∴f（x）≤2x-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查不等式的證明．解題要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法的合理運(yùn)用．