Question

20．已知函數f（x）=x|a-x|+2x．
（1）當a=4時，寫出函數f（x）的單調遞增區(qū)間（不需要過程）；
（2）若函數f（x）在R上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）若存在a∈[-2，4]，使得函數y=f（x）-at有三個零點，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分類討論得出分段函數，結合二次函數單調性求解即可．
（2）根據分段函數的單調性得出，最值滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}≤a}\\{\frac{a+2}{2}≥a}\end{array}\right.$即可．
（3）分類討論判斷零點個數滿足情況，得出函數式子，利用得出函數性質判斷，結合不等式：2a$＜at＜\frac{（a+2）^{2}}{4}$求解即可．

解答 解：（1）a=4，f（x）=x|x-4|+2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥4}\\{6x-{x}^{2}，x＜4}\end{array}\right.$
∴f（x）的單調遞增區(qū)間[4，+∞），（-∞，3）
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x，x≥a}\\{-{x}^{2}+（2+a）x，x＜a}\end{array}\right.$
∵函數f（x）在R上是增函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}≤a}\\{\frac{a+2}{2}≥a}\end{array}\right.$
即2-≤a≤2
求實數a的取值范圍：-2≤a≤2，
（3）①當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數，所以顯然不可能有三個零點，
②當a∈（2，4]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x，x＞a}\\{-{x}^{2}+（2-a）x，x≤a}\end{array}\right.$
∵y=f（x）-at有三個零點，
∴根據二次函數性質得出：2a$＜at＜\frac{（a+2）^{2}}{4}$即可，
∴2$＜t＜\frac{（a+2）^{2}}{4a}$，
∴2$＜t＜\frac{9}{4}$

點評 本題綜合考察了函數的概念，性質，不等式的運用，屬于綜合題目，難度較大，理解好零點問題即可．