Question

18．設(shè)集合P={x|-2＜x＜3}，Q={x|3a＜x≤a+1}
（1）若P∪Q=P，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）P∩Q=∅，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若P∩Q={x|0＜x≤1}，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）首先，結(jié)合條件P∪Q=P，分為Q=∅和Q≠∅兩種情形進行討論，求解實數(shù)a的取值范圍；
（2）分為Q=∅和Q≠∅兩種情形進行討論，然后，得到實數(shù)a的取值范圍；
（3）利用兩個集合交集的概念直接求解即可．

解答 解：（1）由集合：P={x|-2＜x＜3}=（-2，3），
下面分為Q=∅和Q≠∅兩種情形進行討論：
當(dāng)Q=∅時：3a≥a+1，∴a≥$\frac{1}{2}$
當(dāng)Q≠∅時：∵P∪Q=P
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a≥-2}\\{a+1＜3}\\{3a＜a+1}\end{array}\right.$
解得-$\frac{2}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$，
綜上所述實數(shù)a的取值范圍為（-$\frac{2}{3}$，+∞）；
（2）∵P∩Q=∅，
下面分為Q=∅和Q≠∅兩種情形進行討論：
當(dāng)Q=∅時：3a≥a+1，∴a≥$\frac{1}{2}$
當(dāng)Q≠∅時：∵P∩Q=∅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≤-2}\\{3a＜a+1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{3a≥3}\\{3a＜a+1}\end{array}\right.$
∴a≤-3，
綜上所述實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-3]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）
（3）∵P∩Q={x|0＜x≤1}，
∴3a=0，3a＜a+1
∴a=0

點評 本題重點考查集合之間的關(guān)系，抓住集合的元素之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．