Question

已知函數(shù)f（x）=ax+blnx+c（a，b，c是常數(shù)）在x=e處的切線方程為（e-1）x+ey-e=0，x=1既是函數(shù)y=f（x）的零點，又是它的極值點．
（Ⅰ）求常數(shù)a，b，c的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=x²+mf（x）（m∈R）在區(qū)間（1，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)h（x）=f（x）-1的單調(diào)遞減區(qū)間，并證明：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

ln2014

2014

＜

1

2014

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=a+

b

x

，f′(e)=a+

b

e

=-

e-1

e

，f（1）=a+c=0，f′（1）=a+b=0，由此能求出常數(shù)a，b，c的值．
（Ⅱ）由f（x）=-x+lnx+1（x＞0），得g（x）=x²-mx+mlnx+m，從g′(x)=2x-m+

m

x

=

1

x

(2x2-mx+m)，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）由h（x）=-x+lnx，得h′(x)=

1-x

x

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能證明

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

ln2014

2014

＜

1

2014

．

解答： （Ⅰ）解：由f（x）=ax+blnx+c，
知f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=a+

b

x

，
又f（x）在x=e處的切線方程為（e-1）x+ey-e=0，
所以有f′(e)=a+

b

e

=-

e-1

e

，①
由x=1是函數(shù)f（x）的零點，得f（1）=a+c=0，②
由x=1是函數(shù)f（x）的極值點，得f′（1）=a+b=0，③
由①②③，得a=-1，b=1，c=1．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0），
則g（x）=x²-mx+mlnx+m，
且g′(x)=2x-m+

m

x

=

1

x

(2x2-mx+m)…（5分）
要使函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，
則函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，3）內(nèi)一定有極值，
由g′(x)=

1

x

(2x2-mx+m)知g（x）最多有兩個極值，
令d（x）=2x²-mx+m（x＞0），
（i）當函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，3）內(nèi)有一個極值時，
d（x）=0在（1，3）由唯一實數(shù)根，
∵d（1）=2＞0，當d（3）=0，即m=9時，
d（x）=0在（1，3）由唯一實數(shù)根x=

3

2

，
當d（3）≠0，即d（3）＜0，解得m＞9，∴此時m≥9．…（7分）
（ii）當函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，3）內(nèi)有兩個極值時，
d（x）=0在（1，3）由兩個實數(shù)根，
其充要條件是

△=m2-8m＞0 d(1)=2-m+m＞0 d(3)=2×32-3m+m＞0 1＜ m 4 ＜3

⇒8＜m＜9，
綜上所述，m得取值范圍是（8，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）證明：由h（x）=-x+lnx（x＞0）得h′(x)=

1-x

x

，
令h'（x）≤0，得x≥1，即h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減．
由此得h（x）＜h（1），∴-x+lnx＜-1，
∴l(xiāng)nx＜x-1對x∈（1，+∞）都成立，
則0＜

lnx

x

＜

x-1

x

對x∈（1，+∞）都成立，…（12分）
令x=2，3，4，…，2014，得
0＜

ln2

2

＜

1

2

，0＜

ln3

3

＜

2

3

，…，0＜

ln2014

2014

＜

2013

2014

，
各式相乘得

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

ln2014

2014

＜

1

2014

．…（14分）

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．