Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩焦點為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線l與橢圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，且滿足$|A{F_1}|+|A{F_2}|=4\sqrt{2}$，O為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)向量$\overrightarrow m=（\frac{x_1}，\frac{y_1}{a}）$，$\overrightarrow n=（\frac{x_2}，\frac{y_2}{a}）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，試證明△AOB的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a，結(jié)合離心率和隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B的橫坐標的和與積，結(jié)合$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$得到k與m的關(guān)系，由弦長公式求得弦長，再由點到直線的距離公式求出O到直線的距離，代入三角形面積公式求出面積，再驗證AB與x軸垂直時得答案．

解答 （1）解：由$2a=|A{F_1}|+|A{F_2}|=4\sqrt{2}$，得$a=2\sqrt{2}$，
又∵橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$a=\sqrt{2}c$，
∴c=2，則b²=a²-c²=8-4=4，
∴橢圓方程為$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$；
（2）證明：當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ 2{x^2}+{y^2}-8=0\end{array}\right.$，得（2+k²）x²+2kmx+m²-8=0，
由題意知：△=4k²m²-4（2+k²）（m²-8）＞0，即8（4k²-m²+8）＞0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-2km}{{2+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-8}}{{2+{k^2}}}$，
由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，得$\frac{x_1}•\frac{x_2}+\frac{y_1}{a}•\frac{y_2}{a}=0$，
∴$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{8}=0$，${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$
=${k^2}•\frac{{{m^2}-8}}{{2+{k^2}}}+km•\frac{-2km}{{2+{k^2}}}+{m^2}=\frac{{2（{m^2}-4{k^2}）}}{{2+{k^2}}}$．
∴$\frac{{{m^2}-8}}{{2+{k^2}}}+\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{2+{k^2}}}=0$，整理得：2k²+4=m²，
$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{\sqrt{8（4{k^2}-{m^2}+8）}}}{{2+{k^2}}}$，
O到直線AB的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{{|m|\sqrt{2（4{k^2}-{m^2}+8）}}}{{2+{k^2}}}=\frac{{|m|\sqrt{2（2{m^2}-8-{m^2}+8）}}}{{\frac{m^2}{2}}}=2\sqrt{2}$；
當AB⊥x軸時：x₁=x₂，y₁=-y₂，則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x_1^2}{4}-\frac{y_1^2}{8}=0}\\{\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{8}=0}\end{array}}\right.$，由對稱性設(shè)x₁＞0，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=\sqrt{2}}\\{{y_1}=±2}\end{array}}\right.$，
有$A（\sqrt{2}，2）$，$B（\sqrt{2}，-2）$，$d=\sqrt{2}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
綜上可知，△AOB的面積為定值$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應用，考查計算能力，屬中檔題．