Question

15．設(shè)D為△ABC的邊AB上一點(diǎn)，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{AD}$=$\frac{λ+1}{{λ}^{2}+2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{λ}{λ+1}$$\overrightarrow{BC}$，λ＞0，則$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}$的最大值為（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量關(guān)系，確定DP：BC，△ADP的高：△ABC的高=AD：AB，從而可求面積之比，再利用基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答 解：$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{λ}{λ+1}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$，
∴$\overrightarrow{DP}$=$\frac{λ}{λ+1}$$\overrightarrow{BC}$，
∴DP：BC=$\frac{λ}{λ+1}$，
∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{λ+1}{{λ}^{2}+2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴△ADP的高：△ABC的高=AD：AB=$\frac{λ+1}{{λ}^{2}+2}$，
∴$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{λ}{λ+1}$•$\frac{λ+1}{{λ}^{2}+2}$=$\frac{λ}{{λ}^{2}+2}$=$\frac{1}{λ+\frac{2}{λ}}$≥$\frac{1}{2\sqrt{λ•\frac{2}{λ}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)λ=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
故$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形的面積，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定面積之比．