Question

3．如圖，P是圓O外一點(diǎn)，PD為切線，割線PEF經(jīng)過(guò)圓心O，若PF=12，PD=4$\sqrt{3}$，求證：△PDF是等腰三角形．

Answer 1

分析 連結(jié)DO，DE，證明OD⊥PD，求出DF，即可證明結(jié)論．

解答 證明：連結(jié)DO，DE
因?yàn)镻D為切線，PEF為割線，所以PD²=PE•PF
又∵$PD=4\sqrt{3}，PF=12$，∴$PE=\frac{{P{D^2}}}{PF}=4$，
∴EF=PF-PE=8，EO=4，
∵PD為切線，D為切點(diǎn)，∴OD⊥PD，
在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，∴∠DPO=30°，∠DOP=60°．
∵$OD=OF，∠EFD=\frac{1}{2}∠DOP={30^0}，DF=EFcos{30^0}=4\sqrt{3}$，
∴PD=DF，
∴△PDF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切割線定理的運(yùn)用，考查圓的切線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．