Question

如圖，函數(shù)f（x）=x+

2

x

的定義域為（0，+∞）．設(shè)點P是函數(shù)圖象上任一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M，N．
（1）證明：|PM|•|PN|為定值；
（2）O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的圖象

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件，設(shè)出P的坐標，求出|PM|•|PN|，判斷是否為定值即可．
（2）根據(jù)條件將四邊形OMPN分解為兩個三角形OPM和OPN，分別表示出兩個三角形的面積，利用基本不等式的性質(zhì)進行求最值．

解答： 解：（1）設(shè)P的坐標為（m，n）（m＞0），則有n=m+

2

m

，
即有n-m=

2

m

，
由點到直線的距離公式得|PM|=

|n-m|

2

=

1

m

，|PN|=m，
即|PM|•|PN|=1，
即|PM|•|PN|為定值1；
（2）由題意可設(shè)M（t，t），知N（0，n），
由PM與直線y=x垂直，知k_PM=-1，
即

n-t

m-t

=-1，
又n=m+

2

m

解得t=m+

2

2m

，
故|OM|=

2

t=

2

m+

1

m

，
∴S_△OPM=

1

2

•|OM|•|PM|=

1

2

（

2

m+

1

m

）•

1

m

=

1

2

（

2

+

1

m2

），
S_△OPN=

1

2

•|ON|•|PN|=

1

2

•mn=

1

2

（m²+

2

），
∴S_OMPN=S_△OPM+S_△OPN=

1

2

（2

2

+m²+

1

m2

）≥

1

2

（2

2

+2）=

2

+1，
當且僅當m²=

1

m2

，即m=1時等號成立，
故四邊形面積有最小值

2

+1．

點評：本題主要考查曲線和方程，以及點到直線的距離公式的應(yīng)用，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵，涉及的知識點較多，綜合性較強，運算量較大．