Question

如果不等式x²+mx+n≤0的解集為 A=[1，4]，B=[a-1，a]．
（1）求實數m，n的值；
（2）設p：x∈A，q：x∈B，若q是p的充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）利用一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的實數根的關系即可得出．
（2）q是p的充分條件，q⇒p，即B是A的子集，列出不等式組解得即可

解答： 解：（1）∵不等式x²+mx+n≤0的解集為 A=[1，4]，
∴1，4是方程x²+mx+n=0的兩個根，…（2分）
由韋達定理得1+4=-m，1×4=n    …（4分）
∴實數m，n的值分別為-5，4    …（6分）
（2）∵q是p的充分條件，
∴q⇒p，即B是A的子集，…（8分）
即 

a-1≥1 a≤4

，…（11分）
解得2≤a≤4．
所以實數a的取值范圍為[2，4]．…（12分）

點評：本題考查了一元二次不等式的解法和充分條件，屬于基礎題