Question

已知數(shù)列，滿(mǎn)足：．
（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，且．
① 記，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
② 若數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次，求首項(xiàng)應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

（1）
（2）①根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明相鄰兩項(xiàng)的差為定值來(lái)得到證明。從第二項(xiàng)起滿(mǎn)足題意即可。
②當(dāng)，數(shù)列任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次

試題分析：解：（1）當(dāng)時(shí)，有
．
又也滿(mǎn)足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．    4分
（2）①因?yàn)閷?duì)任意的，有，所以，
，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列．                    8分
②設(shè)（其中為常數(shù)且，
所以，，
即數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列．               10分
設(shè)．
（其中為中一個(gè)常數(shù)）
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，有；             12分
當(dāng)時(shí)，．
（Ⅰ）若，則對(duì)任意的有，所以數(shù)列為遞減數(shù)列；
（Ⅱ）若，則對(duì)任意的有，所以數(shù)列為遞增數(shù)列．
綜上所述，集合．
當(dāng)時(shí)，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列均為單調(diào)數(shù)列，任意一個(gè)數(shù)在這6個(gè)數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次．     18分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了等差數(shù)列的概念和數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于難度題。