Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB₁的中點，四邊形B₁BCC₁是邊長為6的正方形，求證CE⊥平面AC₁D．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由直棱柱的特征可得BB₁⊥AD，由三角形三線合一可得AD⊥BC，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AD⊥平面B₁BCC₁．進而AD⊥CE，由側(cè)面B₁BCC₁為正方形，D，E分別為BC，BB₁的中點，利用三角形全等可證得C₁D⊥CE，最后再由線面垂直的判定定理證得CE⊥平面AC₁D；

解答： 證明：所以BB₁⊥AD．
因為AB=AC，D為BC中點，
所以AD⊥BC．又BC∩BB₁=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁．
又CE?平面B₁BCC₁，
所以AD⊥CE．
因為四邊形B₁BCC₁為正方形，D，E分別為BC，BB₁的中點，
所以Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE．
所以∠BCE+∠C₁DC=90°．
所以C₁D⊥CE．
又AD∩C₁D=D，
所以CE⊥平面AC₁D．

點評：本題以一個特殊的直三棱柱為例，要我們證明線面平行和面面垂直，著重考查了平面與平面垂直的判定定理和直線與平面平移的判定定理，屬于中檔題