Question

1．若（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷
（1）求a₀+a₁+a₂+…+a₇
（2）求a₁+a₃+a₅+a₇的值；
（3）求a₃的值．

Answer 1

分析 （1）令x=1，可得：a₀+a₁+a₂+…+a₇=2+2²+…+2⁷．
（2）令x=-1，可得：a₀-a₁+a₂+…-a₇=0．與（1）結(jié)合即可得出．
（3）a₃為x³的系數(shù)，可得a₃=${∁}_{3}^{3}+{∁}_{4}^{3}$+…+${∁}_{7}^{3}$，利用組合數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）令x=1，可得：a₀+a₁+a₂+…+a₇=2+2²+…+2⁷=$\frac{2（{2}^{7}-1）}{2-1}$=2⁸-2=254．
（2）令x=-1，可得：a₀-a₁+a₂+…-a₇=0．
由（1）可得：a₀+a₁+a₂+…+a₇=254．
∴2（a₁+a₃+a₅+a₇）=254，解得a₁+a₃+a₅+a₇=127．
（3）a₃為x³的系數(shù)，
∴a₃=${∁}_{3}^{3}+{∁}_{4}^{3}$+…+${∁}_{7}^{3}$=${∁}_{5}^{4}$+${∁}_{5}^{3}$+${∁}_{6}^{3}$+${∁}_{7}^{3}$=${∁}_{7}^{4}+{∁}_{7}^{3}$=${∁}_{8}^{4}$=70．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、組合數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．