Question

7．已知曲線C是與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（0，3）距離的比為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)的軌跡．
（I）求曲線C的方程．
（Ⅱ）直線l斜率存在且在y軸的截距為-4，若1與曲線C至少有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線1的斜率取值范圍．

Answer 1

分析 （I）設(shè)P（x，y）為曲線上任意一點(diǎn)，求出|PO|，|PA|，根據(jù)|PA|=2|PO|列方程整理即可；
（II）設(shè)直線方程為y=kx-4，代入曲線C方程，令判別式△≥0即可．

解答 解：（I）設(shè)P（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，則|PO|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，|PA|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，兩邊平方整理得：x²+y²+2y-3=0．
∴曲線C的方程為x²+y²+2y-3=0．
（II）設(shè)直線l的方程為y=kx-4，代入x²+y²+2y-3=0得（k²+1）x²-6kx+5=0，
∵1與曲線C至少有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=36k²-20（k²+1）≥0，解得k≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$或k≤-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．