Question

12．已知圓P與圓C₁關(guān)于直線l：x-y+3=0對稱，圓C₁方程為：（x+3）²+（y-4）²=4．
（1）求圓P方程；
（2）點Q為直線l上一動點，過點Q作圓P的切線，求切線長的最小值；
（3）梯形ABCD（AB∥CD∥y軸，且AB＞CD）內(nèi)接于圓P，點E是對角線AC與BD的交點，求$\frac{AB-CD}{PE}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）在圓C₂上任取一點M（x，y），求出點M關(guān)于直線x-y+3=0的對稱點為N（y-3，x+3），再將N坐標(biāo)代入圓C₁的方程，化簡即可得到圓C₂的方程；
（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理，即可求出所得切線長的最小值．
（3）易判斷點E在x軸上，則E（d，0），設(shè)BD的方程為x=ky+d（k＞0），與圓方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由韋達定理可得y₁+y₂，進而可把$\frac{AB-CD}{PE}$用k表示出來，再利用基本不等式即可求得其最大值．

解答 解：（1）在圓C₂上任取一點M（x，y），此點關(guān)于直線x-y+3=0的對稱點為N（m，n
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-n}{x-m}=-1}\\{\frac{1}{2}（x+m）-\frac{1}{2}（y+n）+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=y-3}\\{n=x+3}\end{array}\right.$，
∵點N（m，n）即N（y-3，x+3）在圓C₁：（x+3）²+（y-4）²=4上，
∴y²+（x-1）²=4，即為圓C₂的方程；
（2）y²+（x-1）²=4，圓心坐標(biāo)（1，0），半徑為2．
圓心到直線l：x-y+3=0的距離d=$\frac{|1-0+3|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴所得切線長的最小值為$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2．
（3）根據(jù)圓C₂的方程y²+（x-1）²=4，圓心平移到坐標(biāo)原點，所求$\frac{AB-CD}{PE}$的最大值就是$\frac{AB-CD}{OE}$最大值．對稱性可知點E在x軸上，則E點的坐標(biāo)為（d，0），
即為設(shè)BD的方程為x=ky+d（k＞0），由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+d}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+k²）y²+2dky+d²-4=0，
設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{2kd}{1+{k}^{2}}$，
m-n=2y₁+2y₂=$\frac{4kd}{1+{k}^{2}}$，
從而$\frac{AB-CD}{OE}$=$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{4}{\frac{1}{k}+k}$≤$\frac{4}{2\sqrt{\frac{1}{k}×k}}$=2，
等號當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{1}{k}$=1時取得．
$\frac{AB-CD}{PE}$的最大值為2．

點評 本題求一個圓關(guān)于定直線對稱的圓的方程，并求過定點的圓的切線．著重考查了直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．