Question

19．設f（x）=|x-1|+|x+1|，（x∈R）
（1）求證：f（x）≥2；
（2）若不等式f（x）≥$\frac{|2b+1|-|1-b|}{|b|}$對任意非零實數(shù)b恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角不等式證明：f（x）≥2；
（2）g（b）=$\frac{|2b+1|-|1-b|}{|b|}$≤$\frac{|2b+1-1+b|}{|b|}$=3，可得f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3，分類討論，求x的取值范圍．

解答 （1）證明：f（x）=|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2；
（2）解：g（b）=$\frac{|2b+1|-|1-b|}{|b|}$≤$\frac{|2b+1-1+b|}{|b|}$=3，
∴f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3，
x≤-1時，-2x≥3，∴x≤-1.5，∴x≤-1.5；
-1＜x≤1時，2≥3不成立；
x＞1時，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．
綜上所述x≤-1.5或x≥1.5．

點評 本題考查三角不等式，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．