Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時，g（x）＞0；

（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，<0，單調(diào)遞減；當(dāng)時，＞0，單調(diào)遞增；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】

試題本題考查導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第（Ⅰ）問，對求導(dǎo)，再對a進(jìn)行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第（Ⅱ）問，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結(jié)論，第（Ⅲ）問，構(gòu)造函數(shù)=（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解a的值.

試題解析：（Ⅰ）

<0，在內(nèi)單調(diào)遞減.

由=0有.

當(dāng)時，<0，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，＞0，單調(diào)遞增.

（Ⅱ）令=，則=.

當(dāng)時，＞0，所以，從而=＞0.

（Ⅲ）由（Ⅱ），當(dāng)時，＞0.

當(dāng)，時，=.

故當(dāng)＞在區(qū)間內(nèi)恒成立時，必有.

當(dāng)時，＞1.

由（Ⅰ）有,而，

所以此時＞在區(qū)間內(nèi)不恒成立.

當(dāng)時，令=（）.

當(dāng)時，=.

因此，在區(qū)間單調(diào)遞增.

又因為=0，所以當(dāng)時，=＞0，即＞恒成立.

綜上，.