Question

14．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄（a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R），函數(shù)g（x）=$\root{3}{3f（x）+3x}$，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值$\frac{2}{3}$，且函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱(chēng)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，[1+$\frac{1}{g（x）}$]^g（x）＜e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（3）若b_n=g（n）${\;}^{\frac{1}{g（n+1）}}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n}中是否存在b_n=b_m（n≠m）？若存在，求出所有相等的兩項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)y=f（x+1）的圖象向右平移一個(gè)單位得到函數(shù)y=f（x）的圖象，得出函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)，即y=f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）=a₁x³+a₃x．利用當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值$\frac{2}{3}$，列出方程組，求解a₁，a₃．即可求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）先證明ln（1+x）＜x成立，即可證明結(jié)論；
（3）確定當(dāng)n≥4時(shí)，有$\frac{（_{n+1}）^{（n+1）（n+2）}}{{（b}_{n}）^{（n+1）（n+2）}}$＜1，所以當(dāng)n≥4時(shí)，b_n＞b_n+1，即：b₄＞b₅＞b₆＞…，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：將函數(shù)y=f（x+1）的圖象向右平移一個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x）的圖象，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=a₁x³+a₃x
∴f′（x）=3a₁x²+a₃
由題意得：3a₁+a₃=0且-3a₁-a₃=$\frac{2}{3}$，
∴a₁=$\frac{1}{3}$，a₃=-1，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；
（2）證明：由（1）可知g（x）=x，
∴x＞0時(shí)，[1+$\frac{1}{g（x）}$]^g（x）＜e，可化為ln（1+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$．
構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（1+x）-x（x＞0）．則h′（x）=-$\frac{x}{1+x}$＜0，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴x＞0時(shí)，ln（1+x）＜x，
∴l(xiāng)n（1+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$，
∴x＞0時(shí)，[1+$\frac{1}{g（x）}$]^g（x）＜e；
（3）解：b_n=g（n）${\;}^{\frac{1}{g（n+1）}}$=${n}^{\frac{1}{n+1}}$
所以$\frac{（_{n+1}）^{（n+1）（n+2）}}{{（b}_{n}）^{（n+1）（n+2）}}$=$\frac{n+1}{{n}^{2}}$•（$1+\frac{1}{n}）^{n}$＜$\frac{3（n+1）}{{n}^{2}}$，
令$\frac{3（n+1）}{{n}^{2}}$＜1，得：n²-3n-3＞0，結(jié)合n∈N^*得：n≥4，
因此，當(dāng)n≥4時(shí)，有$\frac{（_{n+1}）^{（n+1）（n+2）}}{{（b}_{n}）^{（n+1）（n+2）}}$＜1，
所以當(dāng)n≥4時(shí)，b_n＞b_n+1，即：b₄＞b₅＞b₆＞…，
又通過(guò)比較b₁、b₂、b₃、b₄的大小知：b₁＜b₂＜b₃＜b₄，
因?yàn)閎₁=1，且n≠1時(shí)b_n≠1，所以若數(shù)列{b_n}中存在相等的兩項(xiàng)，只能是b₂、b₃與后面的項(xiàng)可能相等，
又b₂=b₈，b₃=${3}^{\frac{1}{4}}$＞b₅=${5}^{\frac{1}{6}}$，所以數(shù)列{b_n}中存在唯一相等的兩項(xiàng)，
即：b₂=b₈．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題，也考查了數(shù)列與不等式的應(yīng)用，是較難的題目．