Question

16．某手機(jī)專賣店針對iphone7手機(jī)推出分期付款方式，該店對最近購買iphone7手機(jī)的100人進(jìn)行統(tǒng)計（注：每人僅購買一部手機(jī)），統(tǒng)計結(jié)果顯示如表所示：

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
頻數(shù)	35	25	a	10	b

已知分3期付款的頻率為$\frac{3}{20}$，請以此100人為作為樣本，以此來估計消費人群總體，并解決以下問題：
（ I）從消費人群總體中隨機(jī)抽取3人，求“這3人中（每人僅購買一部手機(jī)）恰好有1人分4期付款”的概率
（ II）若銷售一部iphone7手機(jī)，顧客分1期付款（即全款），其利潤為1000元；分2期付款或3期付款，其利潤為1500元；分4期付款或5期付款，其利潤為2000元，用X表示銷售一部iphone7手機(jī)的利潤，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （ I）由題意可得：$\frac{a}{100}=\frac{3}{20}$，解得a，∴b=100-（35+25+a+10）．利用“二項分布”概率計算公式即可得出．
（II）記分期付款的期數(shù)為ξ，依題意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，X的可能取值為1000元，1500元，2000元，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（ I）$\frac{a}{100}=\frac{3}{20}$，解得a=15，∴b=100-（35+25+15+10）=15．
設(shè)“這3人中（每人僅購買一部手機(jī)）恰好有1人分4期付款”為事件M，
P（M）=${∁}_{3}^{1}×（\frac{1}{10}）×（\frac{9}{10}）^{2}$=$\frac{243}{1000}$．
（ II）設(shè)分期付款期數(shù)為ξ，則P（ξ=1）=$\frac{7}{20}$，P（ξ=2）=$\frac{5}{20}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{20}$，P（ξ=4）=$\frac{2}{20}$，P（ξ=5）=$\frac{3}{20}$．
X可能取值為（單位：元）：1000，1500，2000．
P（X=1000）=$\frac{7}{20}$，P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=$\frac{2}{5}$，P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=$\frac{1}{4}$．
X的分布列

X	1000	1500	2000
P	$\frac{7}{20}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{4}$

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=1000×$\frac{7}{20}$+1500×$\frac{2}{5}$+2000×$\frac{1}{4}$=1450．

點評 本題考查了統(tǒng)計規(guī)律、二項分布列、隨機(jī)變量的概率計算公式及其分布列、數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．