Question

7．符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù){x}=x-[x]，給出下列四個(gè)命題：（1）函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]；
（2）方程{x}=$\frac{1}{2}$有無數(shù)個(gè)解；
（3）函數(shù){x}是增函數(shù)；
（4）函數(shù){x}具有奇偶性．
其中正確的命題有（2）．

Answer 1

分析 利用[x]的定義，結(jié)合函數(shù)的定義域，值域奇偶性和單調(diào)性的定義分別進(jìn)行判斷．由奇偶性函數(shù)的定義證明此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，使求出一個(gè)周期的上的值域，即為整個(gè)函數(shù)的值域，周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)0≤x＜1時(shí)，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域?yàn)閇0，1），故（1）錯(cuò)誤；
（2）當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，{x}=$\frac{1}{2}$，
又∵函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴x=$\frac{1}{2}$+k時(shí)（k∈Z），{x}=$\frac{1}{2}$，故（2）正確；
（3）∵函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，∴函數(shù){x}不是單調(diào)函數(shù)，故（3）錯(cuò)誤；
（4）∵函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，
而{-x}=-x-[-x]≠-{x}，且{-x}=-x-[-x]≠{x}，
∴函數(shù){x}是非奇非偶函數(shù)，故（4）錯(cuò)誤．
∴其中正確的命題有：（2）．
故答案為：（2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義函數(shù) {x}=x-[x]的意義，通過舉反例來說明某個(gè)命題的正確性，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，是中檔題．