【題目】已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)(異于)，連結(jié)，且斜率是斜率的倍.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明:直線恒過(guò)定點(diǎn).

【答案】（1）；

（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程組，解出方程組即可得橢圓方程；（2）連結(jié)設(shè)，由橢圓的性質(zhì)可得出，故而可得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，解出，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得出，得出與的關(guān)系，代入直線方程即可得定點(diǎn).

（1）因?yàn)?/span>，所以，即橢圓的方程為

（2）連結(jié)設(shè)則

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以

因?yàn)?/span>，所以

當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，不妨設(shè)在軸上方，

因?yàn)?/span>，所以

（ii）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，

即，所以

因?yàn)?/span>

所以，即或

當(dāng)時(shí)，，恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在亦符合:當(dāng)，，過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去.

所以直線恒過(guò)定點(diǎn)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，點(diǎn)A是PB的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AD將平面PAD折起，設(shè).

(1)當(dāng)為直角時(shí)，求異面直線PC與BD所成角的大小；

(2)當(dāng)為多少時(shí)，三棱錐的體積為?

(3)剪去梯形中的，留下長(zhǎng)方形紙片，在BC邊上任取一點(diǎn)E，把紙片沿AE折成直二面角,問E點(diǎn)取何處時(shí)，使折起后兩個(gè)端點(diǎn)間的距離最短.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，則滿足恒成立的的取值個(gè)數(shù)為（　�。�

A. 0B. 1C. 2D. 3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn).

(1)求拋物線的方程；

(2)若直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為曲線:上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)又本�l與橢圓C：交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

若直線l過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為，求直線l的方程；

若的面積，求證：和均為定值；

橢圓C上是否存在三點(diǎn)D、E、G，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是菱形，底面，分別是的中點(diǎn)，，，.

（I）證明：；

（II）求直線與平面所成角的正弦值；

（III）在邊上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．

（Ⅰ）若點(diǎn)為，求直線的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，記兩切線，的斜率分別為，，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（選做題）

A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）

已知m，n∈R，向量是矩陣的屬于特征值3的一個(gè)特征向量，求矩陣M及另一個(gè)特征值．

B．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線的參數(shù)方程為( t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為.設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

C．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）

已知x，y，z均是正實(shí)數(shù)，且求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它為何種曲線；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線交曲線于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.

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